爲什麼時空是彎曲的——你也能懂的廣義相對論基本原理
01
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用兩句話概括廣義相對論
從內在邏輯來看, 廣義相對論 (general relativity) 包含兩個方面:
i. 時空是彎曲的, 其中 (自由降) 質點按此彎曲時空的類時測地線進行運動;
ii. 時空按 Einstein 場方程 (EFE) 進行彎曲, 不同彎曲時空是 EFE 在不同條件下的相應時空解.
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其中第二方面, 需要大量動用相關數學工具–主要即微分幾何, 纔可進行深入研究; 是所有廣義相對論教材的主要部分, 本文就不打算介紹了；而第一方面, 卻可以儘量用人類的自然語言定性地講明白; 本文即致力於這一任務的達成. 當然, 其中必然無法完全避免微分幾何中的一些基本概念, 如同胚/同構/微分流形等等; 但不用緊張: 哪怕尚未嚴格地學習過它們, 讀者諸君對這些概念的 “道聽途說” 來的一知半解的把握, 對於實現本章的目的而言, 就已足夠使用.
02
流形, 一般座標變換, 廣義協變性
以二維球面 爲例, 若不單把它視爲嵌入三維 Euclidean 空間的彎曲的幾何對象, 同時也將之視爲某種廣義的空間本身, 則在這種觀點下, 就可並不平庸地得出: 空間本身就是可以彎曲的. 因爲這種理念上的 “進化”, 作爲空間的幾何對象, 或作爲幾何對象的空間, 就有必要被賦予一個新的名字, 稱爲流形(manifold). 某流形 上, 一般並不存在可以覆蓋全局的座標系; 而它上面的某一塊 (開) 區域, 則可被多套不同的座標 (多張不同的卡) 所覆蓋; 兩套座標之間的變換, 稱爲轉移映射(transition map), 或一般座標變換(general coordinate transformation) . 在此一般座標變換下: 生活在流形 上的合法的幾何量, 將作相應的或 “協同的” 某種變化, 稱是協變的(covariant); 而幾何量之間的方程, 其形式結構應保持不變 (invariant); 這兩件事, 稱爲幾何規律的廣義協變性(general covariance). 作爲一個 “換外衣” 的被動座標變換, 顯然, 天生是保距 (distance-preserving) 的; 從而, 一個運動型的 必是 中的一個等距同構 (isometry). 流形 上的所有等距同構操作, 即所有 (運動型的) , 形成一個等距同構羣, 稱爲 的對稱羣 (symmetry group). 於是, 幾何量的廣義協變性這一原則, 也就意味着 (或可以表達爲):某幾何量的對稱羣/性, 就是它所生活於其中的那個流形/空間的對稱羣/性.
03
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狹義相對性原理, 平坦座標變換,
Lorentz 協變性
狹義相對論說: 對於任意慣性參考系 (無引力時空中的不受力參考系), 物理規律都應當具有相同的形式結構; 對於物理規律, 任意慣性系都應當是等價的; 或者說: 對於慣性參考系變換, 物理規律的形式結構保持不變; 這稱爲狹義相對性原理(special principle of relativity). 物理上的 “慣性系-慣性系” 變換, 在數學上, 就是在同一個時空 (Minkowski 時空) 中, 從平坦座標到另一套平坦座標之間的一類座標變換 , 即 Lorentz boost ; 也就是上節一般座標變換 的一種簡單情形.Minkowski 時空 中的合法的時空幾何量, 具有關於 的協變性, 稱爲 Lorentz 協變性; 三個方向上的 (事實上還包括三個 rotation 操作) 形成一個羣, 稱爲 Lorentz 羣 , 是爲 的對稱羣 (的保定點子羣). 於是至此可見: 狹義相對性原理, 在數學上, 也就想當於做了這樣一個大膽的論斷, 即把某個空間 (此處即 Minkowski 時空) 的協變性由幾何量推廣到了物理量; 具體地說就是: 物理規律, 也就是物理量/方程, 如同時空幾何量/方程一樣, 也應當以 Minkowski 時空 爲背景, 關於座標變換 保持協變/不變; 即具有 Lorentz 協變性, 以 Lorentz 羣 爲對稱羣. 此論斷雖說 “大膽”, 然而也是非常符合直覺, 進而非常合理的: 具體的某個慣性參考系/某套座標, 只是物理規律的一件外衣或展現舞臺;物理規律本身, 應當與任何慣性系無關.
然而, 顯然: 從美學上看, 狹義相對性原理缺少了對於非慣性 (non-inertial) 參考系的關照; 從實踐上看, 也沒有任何理由可以阻止人們以非慣性的視角來描述世界 (物理規律); 世界 (物理規律)在非慣性觀察者的眼中, 自然也得有個 “樣子”; 總而言之: 對於物理上的任意參考系變換, 而不僅僅是慣性參考系變換, 物理規律的形式結構及其變化方式, 亟待得到進一步說明.
1.本文提到的所有與狹義相對論有關的知識, 皆可參見本人所著《量子場論》第一章中的相關部分.
2.關於能構成對稱羣元的操作, 在平坦空間 (如 Minkowski 時空) 中, 不僅要求它是等距同構的, 還進一步要求它是保持度規形態不變的.這後一要求, 事實上相當於把從慣性系到非慣性系的變換, 排除在了 Minkowski 時空對稱羣元之外.
04
慣性系-非慣性系變換, 時空流形化,
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廣義相對性原理
常常易容易被忽視的是: 狹義相對論不僅研究了慣性系變換, 事實上也研究了慣性系與非慣性系之間的變換; 後一方面, 集中反映在關於四維勻加速參考系的工作之中; 結果表明: 物理上的 “慣性系-非慣性系” 變換, 在數學上, 就是在同一個時空 (Minkowski 時空) 中, 從平坦座標到另一套 “彎曲” 座標, 即 Rindler 座標, 之間的一類座標變換 . 在加速者視角下, 有資格認爲他所身處的這個由這套 “彎曲” 座標所描述的時空區域 (即 Rindler wedge) 本身, 就是 “彎曲” 的; 非慣性系中的自由降運動, 爲 “彎曲” 時空 中的類時測地線 (time-like geodesic). 由此可見: 非慣性系及其中的自由降運動, 可以純以幾何語言進行刻畫, 而不用再像經典力學那樣, 藉助於 “慣性力”與 Newton 第二定律等這些概念或原理; 這套對非慣性系/慣性力的幾何化描述方案, 可稱爲慣性力幾何化. 從基本概念到指導原理, 都發生了重大而根本的變化: 物理學中的這種力的幾何化, 可算是哲學中範式遷移 (paradigm shift) 的最爲典型的例子之一. 當然, 的這種 “彎曲”, 可由其中的自由降觀察者 O 抹平, 而且是全局 (global) 抹平; 即 O 可作證: Rindler 度規所描述的四維勻加速非慣性系視角下的這種 “彎曲”, 事實上並不存在, 是平庸的. 然而, 儘管如此, 仍然不妨礙關於彎曲時空的一切概念或工具, 都可以使用在 上–上文已經作了展現; 所以, 至此即可合理而自信地說:
時空也是可以彎曲的一類流形.
現在, 就可以請出所謂廣義相對性原理 (general principle of relativity) 了; 它很簡單, 就是對狹義相對性原理由慣性系到任意系的直接推廣:對於任意參考系, 基本物理規律都應當具有相同的形式結構; 對於基本物理規律, 任意參考系都應當是等價的; 或者說:對於 “任意系-任意系” 變換, 基本物理規律的形式結構保持不變. 與狹義相對性原理相似, 廣義相對性原理, 在數學上, 也就相當於做了這樣一個大膽且合理的論斷, 即把某個一般彎曲時空 的協變性由幾何量推廣到了物理量; 具體地說就是: 物理規律, 也就是物理量/方程, 如同時空幾何量/方程一樣, 也應當以彎曲時空 爲背景, 關於一般座標變換 保持協變/不變; 即具有廣義協變性, 以 的對稱羣爲對稱羣. 值得強調: 如果慣性系/非慣性系是全局的, 那麼由這樣的非慣性系所看到的 “彎曲”, 便可由其中的自由降運動所全局抹除; 這也就意味着: 對於真彎曲時空–如果存在的話, 必定不存在全局的慣性系或非慣性系; 能夠對應於數學上的一般座標變換 的物理上的 “任意系-任意系” 變換, 必定是局域 (local) 的.
3. 構成的羣, 稱爲一般線性羣 (general linear group); 對於四維時空, 即 .
05
背景獨立, 微分同胚協變性
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廣義協變性與廣義相對性原理, 即如下陳述–互相等距的不同的座標系, 使幾何/物理方程按其變換 具有相同的協變性, 不改變物理方程的形式結構”, 又可總結爲:基本的幾何/物理規律是座標無關 (coordinate-free) 的, 或背景獨立 (background independent) 的; 一般認爲, 這是在物理觀念上, 廣義相對論給予人們的最重要的啓示之一. 更進一步地, 對於不保距的一般微分同胚變換 Jdiff,即在擁有不同曲率的不同微分流形之間, 儘管幾何/物理量不再具有關於 的協變性, 但其方程的形式結構仍然是保持不變的; 即此時 “物理規律 (的形式結構) 獨立於特定時空背景” 的這一觀念,仍然是成立的. 據此, 人們也常將廣義協變性與微分同胚協變性混稱; 但須注意它們的微妙差別.
06
等效原理, 有引力存在的時空 = 彎曲時空
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在經典力學中就已知曉: 慣性力與引力具有某種相似性; 所謂等效原理(equivalence principle)的作用就是, 以宣稱它們局域等效的形式, 系統地總結了這件事. 具體地: 靜止於引力場中的參考系,可視爲 (無引力時空中的) 局域非慣性系; 在引力場中作自由降的參考系, 可視爲 (無引力時空中的)局域慣性系; 進一步, 這就意味着:在於其中作自由降的觀察者看來, 引力可被局域抵消; 有引力存在的時空, 具有局域 Lorentz 協變性. 接下來, 就是等效原理登場的時刻了–它不但將給出時空的確是可以彎曲的, 而且將給出什麼樣的時空是彎曲的. 具體邏輯過程如下
再向西
–既然非慣性系等價於 “彎曲” 時空, 對慣性力作用下物體運動的描述, 可以訴諸相應彎曲時空的類時測地線, 而不請出慣性力這個概念, 那麼, 以等效原理爲橋樑, 即可得出如下論斷: 有引力存在的參考系等價於彎曲時空, 對引力作用下物體運動的描述, 可以訴諸相應彎曲時空的類時測地線,而不請出引力 (gravity) 這個概念;
–再考慮到它們的關鍵區別–引力只是局域地等效於 (無引力時空中的) 慣性力–又可進一步得出: 不像慣性力對應的 “彎曲” 可被全局抹平, 引力所對應的時空彎曲, 只能被局域抹平, 不可被全局抹平; 從而是確確實實的, 是非平庸的; 總而言之:
經典語境下有引力存在的時空, 就是幾何語境下的彎曲時空.
由此可見: 對於有引力存在的時空及其中的自由降運動, 可以純以幾何語言進行刻畫, 而不用再像經典引力理論那樣, 藉助於 “引力” 與 Newton 第二定律等這些概念或原理; 這套對引力的幾何化描述方案, 可稱爲引力幾何化(geometrization of gravitation).
07
“物質” 導致時空彎曲, 時空動力學
既然有引力存在的時空等價於彎曲時空, 那麼, 時空的彎曲, 是由什麼導致的? 在 Newton 經典引力理論中, 物質導致引力 (按萬有引力定律); 邏輯地, 在現在的幾何化理論/範式中, 顯然應是
“物質” 導致時空彎曲.
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更進一步, “物質” 是如何導致時空彎曲的, 即它們之間的具體數學表達式是什麼, 就是新範式下亟須回答的問題了; 此問題的實質, 就是確定新理論的動力學 (即時空動力學) 方程; 其答案, 衆所周知,就是Einstein 場方程, 是爲 Einstein 的偉大貢獻之一. 整個廣義相對論, 可以說就是圍繞着 Einstein 場方程的各種時空解 (如黑洞, 引力波, 宇宙學等) 及對它們的特性分析而展開的; 在下一章系統學習必要的微分幾何知識後, 即會着手進行這樣的工作. 目前, 從哲學上講, “物質” 導致時空彎曲這件事, 相當於使時空變成了一個動力學客體, 它可以 “產生”, 可以運動變化, 甚至可以 “消失” 或 “滅亡”; 時空 (spacetime) 並不僅僅是物理規律的一成不變的舞臺, 而是一個有其自身演化規律的 “活的” 舞臺–這是關於宇宙, 廣義相對論帶給人類的最了不起的發現!
關於廣義相對論的基本原理, 至此可以說已是比較完備; 事實上, 正在閱讀本的諸君, 若有很懂微分幾何之人的話, 於此, 就可直接開始關於廣義相對論的具體計算工作了.
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來源：中國科學院理論物理研究所
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編輯：尼洛
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